Black-Scholes-Modell im Optionshandel

Das Black-Scholes-Modell, auch als Black-Scholes-Formel bekannt, ist ein Verfahren, um den theoretischen Wert einer Optionen zu berechnen. Das Modell ist noch heute die Grundlage der Optionspreisbewertung, auch wenn es in den letzten Jahren immer öfter angepasst wurde. Entwickelt wurde es von den Ökonomen Fischer Black, Myron Scholes und Robert Merton in den frühen 1970er Jahren.

Was ist das Black-Scholes-Modell?

Das Black-Scholes-Modell ist eine Finanzformel, die es ermöglicht, den theoretischen Preis von Optionen zu berechnen. Es hat sich als äußerst nützlich erwiesen, da es den Marktakteuren eine quantitative Grundlage für die Bewertung von Optionen bietet. Grundsätzlich ermöglicht es das Modell, den „fairen“ oder theoretischen Wert einer Option zu ermitteln, basierend auf verschiedenen Faktoren wie dem Basispreis der Option, der Laufzeit, dem Zinssatz und der erwarteten Volatilität des Vermögenswerts.

Die Grundannahmen des Black-Scholes-Modells, Variablen

Das Black-Scholes-Modell beruht auf mehreren grundlegenden Annahmen.

• Zufällige Schwankungen: Der Vermögenspreis unterliegt zufälligen Schwankungen, die gemäß der Annahme einer normalen Verteilung modelliert werden. Dies impliziert, dass die Preisbewegungen des Basiswerts stetig und zufällig sind.
• Keine Arbitragemöglichkeiten: Das Modell geht davon aus, dass keine Arbitragemöglichkeiten existieren. Arbitrage bezieht sich auf die Möglichkeit, durch gleichzeitige Käufe und Verkäufe von Vermögenswerten ohne Netto-Kapitaleinsatz einen risikofreien Gewinn zu erzielen. Diese Annahme spiegelt die Effizienz der Märkte wider.
• Risikofreie Rendite: Es wird angenommen, dass es möglich ist, eine risikofreie Rendite zu erzielen. Diese Annahme bedeutet, dass Anleger ohne Risiko risikofrei investieren können. Der risikofreie Zinssatz (r) spielt eine zentrale Rolle in der Formel, da er den Diskontierungsfaktor für zukünftige Zahlungen repräsentiert.
• Variablen in der Formel: Die in die Black-Scholes-Formel einfließenden Variablen umfassen den Ausübungspreis der Option (X), die Laufzeit der Option (T), den risikofreien Zinssatz (r), und die Volatilität des zugrunde liegenden Vermögenswerts (σ). Diese Variablen sind entscheidend für die Berechnung des theoretischen Optionspreises und bilden die Grundlage für die Anwendung des Modells in der Finanzpraxis.
• Konstante Volatilität: Das Modell geht von einer konstanten Volatilität aus, was in der Realität möglicherweise nicht immer der Fall ist. In der Praxis kann die Volatilität zeitabhängig sein.
• Risikofreier Zinssatz bleibt konstant: Die Annahme, dass der risikofreie Zinssatz konstant bleibt, kann in Zeiten von Marktturbulenzen möglicherweise nicht erfüllt sein.
• Keine Dividendenzahlungen: Das Modell geht davon aus, dass der zugrunde liegende Vermögenswert keine Dividenden ausschüttet.

Die Black-Scholes-Formel für Call und Put Optionen

Die Black-Scholes-Formel für Call Optionen ermöglicht es, den theoretischen Preis einer Kaufoption zu berechnen. Dabei berücksichtigt sie den aktuellen Vermögenspreis, den Basispreis der Option, die Laufzeit, den risikofreien Zinssatz und die Volatilität des Vermögenswerts. Die Formel selbst ist elegant, jedoch kann ihre Anwendung für Einsteiger zunächst komplex erscheinen.

• S : Aktueller Kurs des Basiswerts
• X : Ausübungspreis der Option (Strike Preis)
• r : Risikofreier Zinssatz
• T : Laufzeit der Option
• σ : Die Volatilität des Basiswerts
• N(d1​) : Kumulative Standardnormalverteilungsfunktion für d1​
• N(d2​) : Kumulative Standardnormalverteilungsfunktion für d2​

Call Optionspreis = S ⋅ N(d1​) − X ⋅ e^(-r * t) ⋅ N(d2​)

Diese Formel ermöglicht es, den theoretischen Preis einer Call Option basierend auf den angegebenen Variablen zu berechnen. Es ist wichtig zu betonen, dass d1​ und d2​ durch folgende Formeln definiert sind:

d1 = (ln(S / X) + (r + σ^2 / 2) * t) / (σ * √T)​

d2 = d1 – σ * √T​

Die Black-Scholes-Formel für Put Optionen bietet eine analoge Berechnung für den theoretischen Preis von Verkaufsoptionen. Sie unterscheidet sich von der Call-Formel durch den Einbezug des Ausübungspreises in den Abzinsungsfaktor.

Put Optionspreis = X ⋅ e^(-r * t) ⋅ N(−d2​) − S ​⋅ N(−d1​)

Das Black-Scholes-Modell in der Praxis

In der Praxis, wird der Optionspreis automatisch vom Broker berechnet. In der Praxis ist die Formel oder die Berechnung dahingegen nicht wichtig. was wiederum von Vorteil ist das Verständnis der Zusammenhänge, wie sich der Optionspreis zusammensetzt: Hier ein Post zum Optionspreis.

Kritik am Black-Scholes-Modell

1. Normalverteilung: Ein zentraler Kritikpunkt liegt in der Annahme, dass die Preisbewegungen des Basiswerts einer normalen Verteilung folgen. In der Realität sind Märkte jedoch von Natur aus unvorhersehbar, und diese Annahme kann zu Ungenauigkeiten führen. Insbesondere in Zeiten von Marktexzessen oder nicht-linearen Ereignissen können normale Verteilungen die tatsächlichen Preisbewegungen nicht immer präzise erfassen.
2. Konstante Volatilität: Ein weiterer bedeutender Kritikpunkt bezieht sich auf die Annahme der konstanten Volatilität. Das Modell geht davon aus, dass die Volatilität über die Laufzeit der Option konstant bleibt. In der Praxis ist die Volatilität jedoch oft zeitabhängig und variiert in Reaktion auf verschiedene wirtschaftliche und finanzielle Ereignisse. Diese Diskrepanz kann zu Fehleinschätzungen führen, insbesondere in Zeiten unerwarteter Marktvolatilität, da das Modell nicht in der Lage ist, plötzliche und drastische Veränderungen adäquat zu berücksichtigen.
3. Dividenden und Zahlungen: Das Black-Scholes-Modell vernachlässigt Dividenden und Zahlungen an Aktionäre, was insbesondere bei Aktienoptionen zu einer Schwäche führen kann. Dividendenzahlungen können den Gesamtwert der Option beeinflussen, und dieses Modell berücksichtigt diesen Einfluss nicht.
4. Europäische vs. Amerikanische Optionen: Das Black-Scholes-Modell bewertet ausschließlich europäische Optionen, die nur zum Verfallsdatum ausgeübt werden können. Im Gegensatz dazu können amerikanische Optionen vor dem Verfallsdatum ausgeübt werden. Diese Flexibilität wird vom Modell nicht erfasst, was in Situationen, in denen vorzeitige Ausübung relevant ist, zu Einschränkungen führen kann.
5. Volatility Skew: Ein weiterer interessanter Aspekt in der Kritik am Black-Scholes-Modell ist der „Volatility Skew“. Dieser bezieht sich auf die Beobachtung, dass die implizite Volatilität für Optionen mit unterschiedlichen Ausübungspreisen variieren kann. Diese Variation weist darauf hin, dass Marktteilnehmer unterschiedliche Erwartungen hinsichtlich der zukünftigen Preisbewegungen haben. Das Modell berücksichtigt diese Asymmetrien nicht angemessen und könnte somit in bestimmten Marktsituationen unzureichende Vorhersagen liefern. Hier eine ausführliche Erklärung des Volatility Skews und wie man als Händler davon profitieren kann.